Menu Tutup

NEGATIF KALI NEGATIF ADALAH POSITIF, MENGAPA?

negatif dikali negatif

Mungkin perkalian bilangan positif dengan negatif bukan merupakan konsep yang sulit bagi kita. Perkalian operasi bilangan bulat menjadi dasar yang harus dikuasai betul dalam matematika, maka tidak heran operasi bilangan bulat dipelajari dari tingkat Sekolah Dasar dan diulas kembali saat Sekolah Menengah pertama pada awal semester. Tetapi sudahkan kita ketahui alasan yang pasti mengapa positif kali positif menghasilkan positif, negatif kali positif menghasilkan negatif, positif kali negatif menghasilkan negatif dan negatif kali negatif menghasilkan positif?

Matematika bukan saja berbicara tentang perhitungan, angka, positif, negatif, operasi penjumlahan, operasi pengulangan, operasi pembagian, operasi perkalian, tetapi sejatinya matematika sangat berhubungan erat dengan kehidupan sehari-hari. Maka untuk menjawab masalah kali ini kiranya tidak seimbang jika hanya dilihat dari sudut pandang matematikanya saja. Berikut adalah uraian dari beberapa sisi mengapa ketentuan tersebut berlaku dalam matematika.

Manusia sejatinya hidup untuk melakukan suatu hal dalam hidupnya. Manusia yang berbuat baik tentu akan dikatakan orang baik, manusia yang berbuat jahat tentu akan dikatakan orang jahat. Tanpa disadari, manusia secara garis besar hanya dibedakan dalam dua kategori yaitu “baik” dan “jahat”.

Matematika

Ada berbagai pertimbangan manusia akan dikatakan orang baik atau orang jahat. Dan petimbangan itu tidak terlepas dari pilihan yang nantinya akan menjadi keputusan orang tersebut dikatakan orang baik atau orang jahat. Pertimbangan ini dapat dikaitkan dengan perbuatan manusia, yaitu perbuatan yang benar dan perbuatan yang salah menurut norma-norma yang telah berlaku di lingkungan.

Manusia yang berbuat kebaikan memang belum tentu semua orang akan mengatakan orang baik. Sebab ribuan pasang manusia di bumi ini memilik berbagai sudut pandang untuk menyimpulkan bahwa orang yang berbuat kebenaran itu adalah orang yang baik, tetapi “alang berjawab, tepuk berbatas” yakinlah kebaikan akan dibalas dengan kebaikan pula sebagaimana dalam QS. Al-Zalzalah ayat 7-8 “Barang siapa yang mengerjakan amal perbuatan kebaikan sebesar dzarrah pun, niscaya ia akan mendapatkan balasannya. Dan barangsiapa yang menjalankan amal kejelekan sekecil dzarrah, pasti ia akan mendapatkan balasannya”.

Mari kita hubungkan keputusan rasional manusia dengan model matematis yang dirangkum dalam operasi perkalian bilangan bulat. Oleh sebab itu, penyelesaian operasi perkalian bilangan bulat menurut sisi kebenaran dalam kehidupan dapat didefinisikan bahwa :

Dilihat dari filosofi kehidupan

Menurut sisi kebenaran dalam kehidupan dapat didefinisikan bahwa :

  • Positif Kali Positif = Positif (+ × + = +)

    (Benar dibenarkan maka benar)

Manusia yang berbuat suatu kebenaran kemudian orang lain membenarkan bahwa perbuatannya merupakan suatu kebenaran, tentu manusia tersebut dikatakan orang yang berbuat kebaikan. Sebab, ia telah berbuat kebenaran dan orang lain mengakui kebaikannya dengan membuat suatu keputusan bahwa kebenaran yang ia lakukan merupakan suatu kebaikan. Maka orang yang berbuat kebenaran (positif /+) dan dibenararkan oleh orang lain (positif / +) adalah perbuatan yang benar (positif / +).

  • Negatif Kali Positif = Negatif (- × + = -)

    (Salah dibenarkan maka salah)

Manusia yang berbuat suatu kesalahan kemudian orang lain membenarkan bahwa perbuatannya merupakan suatu kebenaran, maka perbuatan tersebut merupakan perbuatan yang salah. Sebab, ia telah berbuat salah dan orang lain ikut keliru dengan membuat suatu keputusan bahwa kesalahan yang yang ia lakukan adalah sebuah kebenaran, orang tersebut tetap dikatakan orang yang berbuat kesalahan. Maka orang yang berbuat kesalahan (negatif /-) dan dibenarkan oleh orang lain (positif /+) adalah perbuatan yang salah (negatif / -).

  • Positif Kali Negatif = Negatif (+ × – = -)

    (Benar disalahkan maka salah)

Manusia yang berbuat suatu kebenaran kemudian orang lain menyalahkan bahwa perbuatannya merupakan suatu kesalahan, maka perbuatan tersebut merupakan perbuatan yang salah. Sebab, ia telah berbat suatu kebenaran tetapai orang lain mempunyai penilaian yang keliru dengan menilai perbuatan yang dilakukan adalah sebuah kesalahan. Maka orang yang berbuat kebenaran (positif/ +) dan disalahkan oleh orang lain (negatif/ -) adalah perbuatan yang salah (negatif/ -).

  • Negatif Kali Negatif = Positif (- × – = +)

    (Salah disalahkan maka benar)

Manusia yang berbuat suatu kesalahan kemudian orang lain menyalahkan bahwa perbuatannya merupakan suatu kesalahan, maka perbuatan tersebut merupakan perbuatan yang benar. Sebab, ia telah berbuat suatu kesalahan dan orang lain mengakui bahwa perbuatan yang diperbuat merupakan suatu kesalahan, perbuatan tersebut merupakan suatu kebenaran. Maka orang yang berbuat kesalahan (negatif/ -) dan disalahkan oleh orang lain (negatif/-) adalah perbuatan yang benar (positif/ +).

Definisi diatas tidak dijabarkan secara matematis, tetapi definisi matematika yang dijabarkan dalam kehidupan. Matematika berbicara tentang logika, logika berbicara tentang akal dan akal berbicara tentang kebenaran, dan hidup esensinya adalah mencari kebenaran. Maka definisi berikut berlaku karena matematika yang berbicara tentang logika berkaitan erat dengan kehidupan.

Dilihat dari definisi perkalian dua bilangan

Menurut definisi perkalian dua bilangan dikatakan bahwa jika

  • Positif Kali Positif = Positif (+ × + = +)

3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6

Angka 3 merupakan bilangan positif, angka 2 juga merupakan bilangan positif, maka jelas bahwa bilangan positif dikali positif menghasilkan bilangan positif.

  • Negatif Kali Positif = Negatif (- × + = -)

(3) × 2 = 2 × (3) = (3) + (3) = 6

Angka -3 merupakan bilangan negatif, angka 2 merupakan bilangan positif, maka jelas bahwa bilangan negatif dikali positif menghasilkan bilangan negatif.

  • Positif Kali Negatif = Negatif (+ × – = -)

2 × (3) = (3) + (3) = 6

Angka 2 merupakan bilangan positi, angka -3 merupakan bilangan negatif, maka jelas bahwa bilangan positif dikali negatif menghasilkan bilangan negatif.

  • Negatif Kali Negatif = Positif (- × – = +)

(2) × (3) = ((3)) + ((3)) = 3 + 3 = 6

Karena dijumlahkan negatif kali itu tidak ada, maka tanda negatif pada angka 2 dikalikan ke angka 3 seperti pada contoh diatas sehingga angka dikali menghasilkan , kemudian dijumlahkan sebanyak 2 kali menghasilkan 6 bilangan positif.

Dilihat dari deret matematika

Deret matematika merupakan bilangan berurut dengan beda tertentu. Misalkan bilangan 1, 2, 3, 4 memiliki beda 1.

  • Positif Kali Positif = Positif (+ × + = +)

2 × 6 = 12

2 × 5 = 10

2 × 4 = 8

2 × 3 = 6

2 × 2 = ....?

12, 10, 8, 6, ...

Bilangan yang memenuhi pola selanjutnya pastilah bernilai 4 (positif)

  • Positif Kali Negatif = Negatif (+ × – = -)

2 × 6 = 12

2 × 5 = 10 

2 × 4 = 8

2 × 3 = 6

2 × 2 = 4

2 × 1 = 2

2 × 0 = 0

2 × (1) = ...?

12, 10, 8, 6, 4, 0, ...

Bilangan yang memenuhi pola selanjutnya pastilah bernilai-2 (negatif)

  • Negatif Kali Positif = Negatif (- × + = -)

3 × 3 = 9

2 × 3 = 6

1 × 3 = 3

0 × 3 = 0

(1) × 3 = ...?

9, 6, 3, 0, ... 

Bilangan yang memenuhi pola selanjutnya pastilah bernilai-3 (negatif)

  • Negatif Kali Negatif = Positif (- × – = +)

3 × (3) = 9

2 × (3) = 6

1 × (3)= 3

0 × (3) = 0

(1) × (3) = ...?

9, 6, 3, 0, ... 

Bilangan yang memenuhi pola selanjutnya pastilah bernilai 3 (positif)

Dilihat dari garis bilangan

Telah kita ketahui garis bilangan sebagai berikut :

garis bilangan || negatif kali negatif

Bilangan positif bisa dikatakan mengarah ke kanan, sedangkan bilangan negatif mengarah ke kiri.

  • Positif Kali Positif = Positif (+ × + = +)

Contoh :

3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6

Jika diperhatikan jaraknya ke angka nol maka angka 2 setelah dikalikan dengan 3 maka akan menjauh dari 0 senbanyak 3 kali, satu langkah nya bernilai 2.

garis bilangan +x+ || negatif kali negatif

  • Negatif Kali Positif = Negatif (- × + = -)

Contoh :

(2)×3=3×(2)

 = berlaku komutatif

(a)×b

 berarti b menjauh sebanyak a kali lipat dengan arah berlawanan dengan arah b. Karena 3 berada di sebelah kanan, maka -2 bergeser ke sebelah kiri sebanyak 3 langkah satu langkahnya bernilai -2.

garis bilangan -x+ | negatif kali negatif

  • Positif Kali Negatif = Negatif (+ × – = -)

Contoh :

(3) × 2 = 2 × (3) = (3) + (3) = 6

Bilangan -2 setelah dikali dengan 3 akan menjauhi dari 0 sebanyak 3 kali, sehingga diperoleh -6 karena -2 berada di sebelah kiri 0, maka menjauhi 3 kali, artinya semakin ke kiri sejauh 3 langkah.

garis bilangan +x- | negatif kali negatif

  • Negatif Kali Negatif = Positif (- × – = +)

Contoh :

(3)×(2)=6

Karena -2 mengarah ke kiri, berdasarkan kesimpulan di atas maka hasilnya harus mengarah ke kanan, artinya positif. Jadi :
(-3)×(-2)=6

garisbilangan -x- | negatif kali negatif

Dilihat dari beberapa ketentuan

Ada beberapa ketentuan matematika yang dapat membuktikan perkalian dua bilangan. Ketentuan tersebut adalah sebagai berikut :

  • Bilangan apapun dan berapapun, jika dikalikan dengan 0, hasilnya adalah 0.
    Contoh : 5×0=0
  • Bilangan apapun dan berapapun, jika dijumlahkan dengan invers nya, maka hasilnya adalah 0.
    Contoh : 5+(-5)=0, -5 adalah lawan dari 5.
  • Berlaku sifat distributuf pada perkalian terhadap penjumlahan termasuk di dalamnya perkalian bilangan negative.

Untuk membuktikan ketentuan di atas, akan dijelaskan sebagai berikut :

  • Positif Kali Positif = Positif (+ × + = +)

Untuk bilangan positif dikali bilangan positif sudah jelas menghasilkan bilangan positif maka tidak perlu dibuktikan.

  • Positif Kali Negatif = Negatif (+ × – = -)

Untuk membuktikan ketentuan diatas, maka diambil contoh sebagai berikut :

121 =1212 + 12 = 0

Misalkan:

12 = 3 × 4, maka:
3 × (4 + (-4)) = 0
3 × 0 = 0, jika 0 = (4 + (-4))
⇔ 3 × (4 + (-4)) = 0
⇔ (3 × 4) + (3 × (-4)) = 0
⇔ 12 + p = 0

p adalah-12 (bernilai negatif)

“3×(-4)” adalah invers dari penjumlahan “3×4”. Invers penjumlahan 12 adalah -12, maka pastilah bilangan positif dikali negatif menghasilkan bilangan negatif.

  • Negatif Kali Positif = Negatif (- × + = -)

    -× + = –
    Untuk penjelasan bilangan positif dikali bilangan negatif berlaku komutatif dengan bilangan negative dikali bilangan positif, maka hasilnya pun sudah pasti bilangan negative.

  • Negatif Kali Negatif = Positif (- × – = +)

    Untuk membuktikan ketentuan diatas dapat diambil contoh sebagai berikut :
    (12)^(-1)=-12
    ⇔-12+12=0

Misalkan:

-12=-3×4,maka:
-3×0=0,
jika 0=(4+(-4))
⇔ -3×(4+(-4)=0
⇔(-3×4)+((-3)×(-4))=0
⇔-12+p=0
p adalah 12 (bernilai positif)
” (-3)×(-4)” adalah invers dari “-3×4”. Kita tahu “-3×4=-12”, pastilah “(-3)×(-4)” bernilai positif, maka terbukti bilangan negatif dikali bilangan negatif bernilai positif.

Kesimpulan

Dilihat dari beberapa definisi diatas, tentu sudah dapat dijelaskan bahwa negatif dikali negatif bernilai positif. Filosofi kehidupan dapat membuktikan, tetapi tidak dijabarkan dalam matematika. Maka untuk meyakinkan kembali keempat definisi diatas dijabarkan agar dapat dibuktikan secara matematis. Matematika merupakan ilmu pasti, namun kepastian itu tidak selalu dijelaskan dengan satu hal.

Untuk mebuktikan negatif dikali negatif adalah positif dapat dibuktikan dengan beberapa cara dilihat dari sudut mana mengambilnya. Dalam kesempatan ini, penulis mengambil dari filosofi kehidupan, deret bilangan, definisi perkalian dua bilangan, garis bilangan dan beberapa ketentuan yang dapat membuktikan negatif dikali negatif adalah positif. Meskipun ada salah satu yang tidak dapat membuktikan, tetapi definisi lain dapat membuktikannya dengan jelas.

Tulisan ini barangkali tidak begitu tabu di kalangan mahasiswa atau orang-orang yang telah memahami matematika tingkat tinggi. Tetapi, tulisan ini akan sangan membantu bagi para pengajar agar memiliki wawasan yang luas mengenai perkalian bilangan negatif.

More++

Baca juga pembahasan penulis tentang Matematika lainnya

Baca juga: